Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于点D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若（1）中的⊙O与边AB的另一个交点为E，AB=6，BD=2$\sqrt{3}$，求弧DE的弧长（结果保留根号和π）

Answer 1

分析 （1）作出AD的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）利用等腰三角形的性质和角的平分线的性质求得OD∥AC． 进而求出∠ODB=90°，从而得出BC为⊙O的切线．
（3）设⊙O的半径为r，则OB=6-r，在RT△ODB中，根据勾股定理求得r的值，进而根据已知求得∠DOB=60°，然后根据弧长公式求得即可．

解答 解：（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作圆；
（2）直线BC与⊙O相切．
理由如下：
连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC．
∴∠ODA=∠DAC．
∴OD∥AC．          
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
即OD⊥BC．
∴BC为⊙O的切线．
（3）设⊙O的半径为r，则OB=6-r，
在RT△ODB中，∠ODB=90°，
∴OB²=OD²+BD²，即（6-r）²=r²+（2$\sqrt{3}$）²，
解得r=2，
∴OB=4，
∴∠OBD=30°，∠DOB=60°，
∴l=$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π，
∴弧DE的弧长$\frac{2}{3}$π．

点评 此题主要考查了复杂作图、切线的判定、勾股定理的应用以及弧长的计算，利用角平分线的性质得出OD∥AC是解题关键．