Question

17．一个正六边形的外接圆的半径为$\sqrt{2}$，则此正六边形的面积为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连接OE、OD，由正六边形的特点求出判断出△ODE的形状，作OH⊥ED，由特殊角的三角函数值求出OH的长，利用三角形的面积公式即可求出△ODE的面积，进而可得出正六边形ABCDEF的面积．

解答 解：连接OE、OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠DEF=120°，
∴∠OED=60°，
∵OE=OD=$\sqrt{2}$，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE=OE=$\sqrt{2}$，
作OH⊥ED交ED于点H，则sin∠OED=$\frac{OH}{OE}$，
∴OH=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴正六边形的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题考查了正多边形的性质，掌握正六边形的边长等于半径的特点是解题的关键．