Question

如图，抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0），B（4，5）两点，请解答下列问题；
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，连接AD，点F为AD的中点，求出线段EF的长；
（3）若点P是抛物线上异于A、C的另外一点，且S_△AEP=S_△AED，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由于抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0），B（4，5）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）先配方得到点D（1，-4），依此可得AE=2，ED=4，根据勾股定理可求AD，再根据直角三角形的性质可求线段EF的长；
（3）当点P的纵坐标是4时，S_△AEP=S_△AED，依此可得方程求出点P的纵坐标，从而求解．

解答：解：（1）将A（-1，0），B（4，5）代入y=x²+bx+c得，

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得：

b=-2 c=-3

．
所以抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
所以点D（1，-4），
所以AE=2，ED=4，AD=

AE2+ED2

=2

5

因为F是AD的中点，
所以EF=

1

2

AD=

5

；

（3）当点P的纵坐标是4时，S_△AEP=S_△AED，
则（x-1）²-4=4，
解得x=1±2

2

．
所以点P的坐标是（1+

2

，4）或（1-

2

，4）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，配方法，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．