Question

四边形ABCD为矩形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E．

（1）如图1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF-BF=EF；
（2）如图2，在（1）条件下，AG=

5

BG，求

GC

EC

；
（3）如图3，连EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，则CE=

 

（直接写出结果）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）利用△AED≌△BFA求得AE=BF，再利用线段关系求出AF-BF=EF．
（2）延长AG与DC交于点F，设BG=t先求出AB，再利用△ABG≌△FCG及直角三角形斜边上的中点，求出

GC

EC

；
（3）连接DG，作EM⊥BC于M点，利用直角三角形求出DG，CD的长，再利用ABG∽△DEA，求出AD，再运用△EMG∽△DEA求出EM和MG，再运用勾股定理即可求出CE的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
又DE⊥AG，BF∥DE，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，
在△AED和△BFA中，

∠AED=∠AFB ∠DAE=∠ABF AD=AB

∴△AED≌△BFA（AAS），
∴AE=BF，
∴AF-BF=EF，
（2）如图2，延长AG与DC交于点F，

∵AG=

5

BG，设BG=t，则AG=

5

t，
在Rt△ABG中，AB=

AG2-BG2

=2t，
∴G为BC的中点，
在△ABG和△FCG中，

∠BAG=∠CFG ∠ABG=∠FCG BG=CG

∴△ABG≌△FCG（AAS），
∴AB=FC=CD，
又∵DE⊥AG，
在Rt△DEF中，C为斜边DF的中点，
∴EC=CD=CF，
∴

GC

EC

=

GC

BC

=

1

2

（3）如图3，连接DG，作EM⊥BC于M点，

∵DE⊥AG，DE=2，GE=1，
∴在RT△DEG中，DG=

DE2+GE2

=

22+12

=

5

，
∵CG=CD，
∴在RT△DCG中，∠CDG=∠CGD=45°，
∴CD=CG=

DG

2

=

10

2

，
∵∠BAG+∠GAD=90°，∠EDA+∠GAD=90°，
∴∠BAG=∠EDA，
∵∠ABG=∠DEA=90°，
∴△ABG∽△DEA，
∴

AD

AG

=

DE

AB

，
设AD=x，则AE=

x2-DE2

=

x2-4

，AG=

x2-4

+1，
∴

x

x2-4 +1

=

2

10 2

，
解得x₁=

2 10

3

，x₂=-2

10

（舍去）
∴AE=

AD2-DE2

=

2

3

，
又∵∠BAG=∠MEG，
∴∠EDA=∠MEG，
∴△EMG∽△DEA
∴

GE

AD

=

EM

DE

=

MG

AE

，即

1

2 10 3

=

EM

2

=

MG

2 3

解得EM=

3 10

10

，MG=

10

10

，
∴CM=CG+MG=

10

2

+

10

10

=

3 10

5

，
∴CE=

EM2+CE2

=

( 3 10 10 )2+( 3 10 5 )2

=

3 2

2

．
故答案为：

3 2

2

．

点评：本题主要考查了四边形综合题，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形相似求出线段的长度．此题难度较大，考查了学生计算能力．解题是一定要细心．