Question

如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，

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3

）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）由抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，

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3

）三点，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）由点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即-y＞0，-y表示点E到OA的距离，又由S=2S_△OBE=2×

1

2

×OB•|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
（3）由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能（2.5，-2.5），而坐标为（2.5，-2.5）点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF为正方形．

解答：解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，

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3

）三点，则由题意可得：

a+b+c=0 25a+5b+c=0 c= 10 3

，解得

a= 2 3 b=-4 c= 10 3

．
∴所求抛物线的解析式为：y=

2

3

x²-4x+

10

3

．

（2）∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OB是平行四边形OEBF的对角线，
∴S=2S_△OBE=2×

1

2

×OB•|y|=-5y=-5（

2

3

x²-4x+

10

3

）=-

10

3

x²+20x-

50

3

，
∵S=-

10

3

（x-3）²+

40

3

∴S与x之间的函数关系式为：S=-

10

3

x²+20x-

50

3

（1＜x＜5），S的最大值为

40

3

．

（3）∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，
∴此时点E坐标只能（

5

2

，-

5

2

），而坐标为（

5

2

，-

5

2

）点在抛物线上，
∴存在点E（

5

2

，-

5

2

），使平行四边形OEBF为正方形，
此时点F坐标为（

5

2

，

5

2

）．

点评：此题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、配方法、平行四边形的性质以及正方形的判定等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想、方程思想与函数思想的应用．