Question

18．如图，已知函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．
（1）若AC=2OD时，
①直接写出点A坐标（1，4），四边形ADCB是菱形
②求a、b的值；
（2）若EC=3DB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）①由函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2），可求得反比例函数的解析式，又由AC=2OD，可求得点A的纵坐标，则可求得点A坐标；由AF=CF=2，DF=BF=1，AC⊥BD，可证得四边形ADCB是菱形；
②将A与D的坐标代入，利用待定系数法即可求得a、b的值；
（2）首先设点C的坐标为（m，0），首先由EC=3DB，求得点E与点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．

解答 解：（1）∵函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2），
∴k=xy=2×2=4，OD=2，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$，
①∵BD⊥y轴，
∴点D的坐标为：（0，2），即OD=2，
∵AC=2OD=2×2=4，AC⊥x轴，
∴点A的纵坐标为4，
∴4=$\frac{4}{x}$，
解得：x=1，
∴点A坐标为：（1，4）；
∴AF=CF=2，DF=BF=1，
∴四边形ADCB是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ADCB是菱形；
故答案为：（1，4），菱；
②把点D与点A代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴a=2，b=2；

（2）∵EC=3DB，DB=2，
∴EC=6，
设点C的坐标为（m，0），则点A的坐标为：（m，$\frac{4}{m}$），
点E的坐标为：（m-6，0），
∵点D的坐标为（0，2），
∴b=2，
把E，A的坐标代入y=ax+2得：$\left\{\begin{array}{l}{am+2=\frac{4}{m}}&{①}\\{a（m-6）+2=0}&{②}\end{array}\right.$，
由②得a=$\frac{2}{6-m}$代入①，
得到$\frac{2m}{6-m}$+2=$\frac{4}{m}$，
解得m=$\frac{3}{2}$代入①可得a=$\frac{4}{9}$．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式以及菱形的判定的知识．注意求得各点的坐标是解此题的关键．