Question

8．如图，边长为1的正方形ABCD中绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．

解答 解：如图，连接AO，

根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，则∠DAB′=60°．
在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD=AB′，AO=AO，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．
∴∠OAD=∠OAB′=30°．
又∵AD=1，
∴OD=AD•tan∠OAD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴阴影部分的面积=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAO=∠B′AO，从而求出∠DA0=30°是解题的关键，