Question

20．如图，直线l₁的解析式为y₁=$\sqrt{3}$x，直线l₂的解析式为y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，过点（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）…（n，0）作y轴的平行线，与直线l₁分别交于点A₁、A₂、A₃、A₄、…A_n，与直线l₂分别交于点B₁、B₂、B₃、…B_n，连接A₁B₂、A₂B₃、A₃B₄、…、A_nB_n+1，设△OA₁B₁的面积为S₁，△A₁B₁B₂的面积为S₂，△A₁B₂A₂的面积为S₃…，则S₂₀₁₅=（　　）

• A． $\frac{2016\sqrt{3}}{3}$
• B． 1008$\sqrt{3}$
• C． $\frac{2015\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2015\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据一次函数图象上点的坐标特征得到A₁（1，$\sqrt{3}$），B₁（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），于是可判断直线y₁=$\sqrt{3}$x与x轴的夹角为60°，直线y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x与x轴的夹角为30°，则l₁⊥l₂，根据特殊角的三角函数值可得到OA₁=2，OA₂=4，OA₃=6，OA₄=8，OB₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OB₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OB₃=2$\sqrt{3}$，OB₄=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，所以OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=2，OB₁=B₁B₂=B₂B₃=B₃B₄=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，接着根据三角形面积公式可计算出S₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，S₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，S₃=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，S₄=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，S₅=$\frac{6\sqrt{3}}{3}$，S₆=$\frac{6\sqrt{3}}{3}$，按此规律可得S₂₀₁₅=$\frac{2016\sqrt{3}}{3}$，S₂₀₁₆=$\frac{2016\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：当x=1时，y₁=$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则A₁（1，$\sqrt{3}$），B₁（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
则直线y₁=$\sqrt{3}$x与x轴的夹角为60°，直线y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x与x轴的夹角为30°，
所以l₁⊥l₂，
同样可得A₂（2，2$\sqrt{3}$），B₂（2，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），A₃（3，3$\sqrt{3}$），B₃（3，-$\sqrt{3}$），A₄（4，4$\sqrt{3}$），B₁（4，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
所以OA₁=2，OA₂=4，OA₃=6，OA₄=8，OB₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OB₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OB₃=2$\sqrt{3}$，OB₄=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
则OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=2，OB₁=B₁B₂=B₂B₃=B₃B₄=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以S₁=$\frac{1}{2}$OA₁•OB₁=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
S₂=$\frac{1}{2}$OA₁•B₁B₂=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
S₃=$\frac{1}{2}$A₁A₂•OB₂=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
S₄=$\frac{1}{2}$OA₂•B₂B₃=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
S₅=$\frac{1}{2}$A₂A₃•OB₃=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\frac{6\sqrt{3}}{3}$，
S₆=$\frac{1}{2}$OA₃•B₃B₄=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{6\sqrt{3}}{3}$，
…
所以S₂₀₁₅=$\frac{2016\sqrt{3}}{3}$，
S₂₀₁₆=$\frac{2016\sqrt{3}}{3}$．
故选A．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．找到直线y₁=$\sqrt{3}$x与y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x和x轴的夹角是解决此题的关键．