Question

12．已知抛物线y=x²+kx+k-1．
（1）当k=3时，求抛物线与x轴的两个交点坐标；
（2）求证：无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点；
（3）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A（x_A，0），B（x_B，0）两点，且满足：x_A＜x_B＜0，S_△ABC=6，①求抛物线的表达式；②y轴负半轴上是否存在一点D，使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把k=3代入y=x²+kx+k-1，得到y=x²+3x+2，令y=0，得x²+3x+2=0，再解方程求出x的值，即可求解；
（2）令x²+kx+k-1=0，解方程求得两根有一常数，问题得证；
（3）①由x_A＜x_B＜0，得1-k＜0，分两种情况：
Ⅰ）若-1＜1-k，则k＜2，求得1＜k＜2，表示出AB、OC，代入S_△ABC=6解答求k；
Ⅱ）若1-k＜-1，则k＞2，表示出AB、OC，代入S_△ABC=6解答求k；
②由y=x²+5x+4求出A、B、C三点的坐标，进一步求得AB、AC，由△CAD∽△ABC，求出CD，得出OD，进而求出点D的坐标．

解答 （1）解：∵y=x²+kx+k-1，
∴当k=3时，y=x²+3x+2，
令y=0，得x²+3x+2=0，
解得x₁=-1，x₂=-2，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（-2，0）；

（2）证明：∵y=x²+kx+k-1，
∴当y=0时，x²+kx+k-1=0，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点（-1，0）；

（3）解：①∵x_A＜x_B＜0，
∴1-k＜0，即k＞1．
分两种情况：
Ⅰ）若-1＜1-k，则k＜2，
∴1＜k＜2，这时x_A=-1，x_B=1-k，
∴AB=x_B-x_A=1-k-（-1）=2-k，且OC=k-1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$（2-k）（k-1）=6，
整理，得k²-3k+14=0，
∵b²-4ac=（-3）²-4×14＜0，
∴此方程无实数解，即-1＜1-k不成立；
Ⅱ）若1-k＜-1，则k＞2，
∴这时x_A=1-k，x_B=-1，
∴AB=x_B-x_A=-1-（1-k）=k-2，且OC=k-1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$（k-2）（k-1）=6，
整理，得（k-5）（k+2）=0，
∴k₁=5，k₂=-2（不合题意，舍去），
∴所求抛物线的表达式为y=x²+5x+4；

②如图，存在一点D，使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
∵y=x²+5x+4，
∴A（-4，0），B（-1，0），C（0，4），
∴AB=3，OC=4，AC=4$\sqrt{2}$，
∵∠CAO=∠OCA=45°，
∴只有△CAD∽△ABC，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴CD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{32}{3}$，
∴OD=CD-OC=$\frac{32}{3}$-4=$\frac{20}{3}$，
∴D点坐标为（0，-$\frac{20}{3}$）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到抛物线与x轴交点坐标的求法，二次函数解析式的确定、图形面积的求法、相似三角形的判定和性质等知识，渗透分类讨论及数形结合的思想．