如图1.平面直角坐标系中.△OAB三个顶点坐标分别为O.B(4.0)．(1)求证:AB⊥OA,(2)在第一象限内确定点M.使△MOB与△AOB相似.求符合条件的点M的坐标,.作直线BD①将△AOB沿射线BD平移4个单位长度后.求△AOB与以D为圆心.以1为半径的⊙D的公共点的个数．②如图3.现有一点P从D点出发.沿射线DB的方向以1个单位长度/秒的速度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图1，平面直角坐标系中，△OAB三个顶点坐标分别为O（0，0），A（1，$\sqrt{3}$），B（4，0）．
（1）求证：AB⊥OA；
（2）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求符合条件的点M的坐标；
（3）如图2，已知点D（0，-3），作直线BD
①将△AOB沿射线BD平移4个单位长度后，求△AOB与以D为圆心，以1为半径的⊙D的公共点的个数．
②如图3，现有一点P从D点出发，沿射线DB的方向以1个单位长度/秒的速度作匀速运动，运动时间为t秒，当以P为圆心，以0.5t为半径的⊙P与△AOB有公共点时，求t的取值范围．

分析（1）如图1中，作AH⊥OB于H，由tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\sqrt{3}$，tan∠ABH=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠AOH=60°，∠ABO=30°，即可解决问题．
（2）如图2中，过点B作BM₁⊥x轴交OA的延长线于M₁，在BM₁取一点M₂使得∠M₂OB=30°，作BM₃⊥OM₂于M₃，则△OBM₁，△OBM₂，△OBM₃都与△OAB相似．分别求出点M的坐标即可．
（3）①如图3中，作DM⊥A′B′于M，O′B′与OD交于点N，根据DM＜1，DN＜1可得以1为半径的⊙D与O′B′有两个交点，与A′B′有两个交点（B′点重复），由此即可解决问题．②求出两种特殊位置时t的值，a、当⊙P与x轴相切时，作PM⊥OB于M，则PM=0.5t，由PM∥OD，DP=t，PB=5-t，得$\frac{PM}{OD}$=$\frac{BP}{BD}$，列出方程求出t．b、当⊙P′的圆心P′在x上方时，经过点B，则有t-5=0.5t，求出t，由此即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，作AH⊥OB于H，

∵A（1，$\sqrt{3}$），B（4，0）．
∴OH=1，AH=$\sqrt{3}$，BH=3，
∴tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\sqrt{3}$，tan∠ABH=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOH=60°，∠ABO=30°，
∴∠OAB=180°-∠AOB-∠ABO=90°，
∴OA⊥AB．

（2）如图2中，过点B作BM₁⊥x轴交OA的延长线于M₁，在BM₁取一点M₂使得∠M₂OB=30°，作BM₃⊥OM₂于M₃，则△OBM₁，△OBM₂，△OBM₃都与△OAB相似．

在Rt△OBM₁中，∵OB=4，∠BOM₁=60°，
∴BM₁=$\sqrt{3}$BO=4$\sqrt{3}$，
∴M₁（4，4$\sqrt{3}$）．
在Rt△OBM₂中，∵OB=4，∠M₂OB=30°，
∴BM₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴M₂（4，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
在Rt△OBM₃中，∵∠M₃OB=30°，∠OM₃B=90°，
∴OM₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=2$\sqrt{3}$，可得M₃（3，$\sqrt{3}$）．
综上所述，点M的坐标为（4，4$\sqrt{3}$）或（4，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（3，$\sqrt{3}$）

（3）①如图3中，作DM⊥A′B′于M，O′B′与OD交于点N，

由题意BB′=4，
∵OB=4，OD=3，∠BOD=90°，
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴DB′=1，
∴DM＜DB′，DN＜DB′即DM＜1，DN＜1
∴以1为半径的⊙D与O′B′有两个交点，与A′B′有两个交点（B′点重复），
∴△AOB与以D为圆心，以1为半径的⊙D的公共点的个数为3个．

②如图4中，

a、当⊙P与x轴相切时，作PM⊥OB于M，则PM=0.5t，
∵PM∥OD，DP=t，PB=5-t，
∴$\frac{PM}{OD}$=$\frac{BP}{BD}$，
∴$\frac{0.5t}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴t=$\frac{30}{11}$秒．
b、当⊙P′的圆心P′在x上方时，经过点B，则有t-5=0.5t，
∴t=10，
综上所述，当$\frac{30}{11}$≤t≤10时，P为圆心，以0.5t为半径的⊙P与△AOB有公共点．