Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，今在△ABC内部取一点D使得AB=BD=AC且∠DCB=30°，若CD=2且AC=2$\sqrt{37}$，试求△ABC面积（请详述理由）．

Answer 1

分析 如图，过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F．结合含30度角直角三角形的性质、勾股定理求得BC、AF的长度，利用三角形的面积公式即可求得答案．

解答 解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F．
∵CD=2，∠DCB=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴EC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
又AB=BD=AC=2$\sqrt{37}$，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{37}）^{2}-1}$=7$\sqrt{3}$，BF=$\frac{1}{2}$BC．
∴BC=8$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{37}）^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}$=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{3}$×10=40$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的面积的计算，解题时，注意辅助线和勾股定理的应用．