Question

17．如图，从城市A到B城市的公路需经过城市C，图中AC=100千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两城市间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？
（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

Answer 1

分析 （1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中根据CH=AC•sin∠CAB求出CH的长，由AH=AC•cos∠CAB求出AH的长，同理可得出BH的长，根据AB=AH+BH可得出结论；
（2）根据在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA可得出BC的长，由AC+BC-AB即可得出结论．

解答 解：（1）作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，∵AC=100千米，∠CAB=25°，
∴CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈100×0.42=42千米，
AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈100×0.91=91千米．
在Rt△BCH中，∵∠CBA=37°，
∴BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈42÷0.75=56千米，
∴AB=AH+BH=91+56=147千米．故改直的公路AB的长147千米；

（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=42÷sin37°≈42÷0.6=70千米，
则AC+BC-AB=100+70-147=23千米．
答：公路改直后比原来缩短了23千米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．