Question

9．如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点，∠CDB=∠BFD．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．

解答 解：（1）DF与⊙O相切．  
∵∠CDB=∠CAB，
又∵∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD．
∴AC∥DF．  
∵半径OD垂直于弦AC于点E，
∴OD⊥DF．
∴DF与⊙O相切．　　
（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，
∴$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$．
∵AB是⊙O的直径，
∴$OA=OD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$．
在Rt△AEO中，$OE=\sqrt{O{A^2}-A{E^2}}=\sqrt{{5^2}-{4^2}}=3$．  
∵AC∥DF，
∴△OAE∽△OFD．
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{AE}{DF}$．
∴$\frac{3}{5}=\frac{4}{DF}$．
∴$DF=\frac{20}{3}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△OAE∽△OFD是解题关键．