Question

16．如图，二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（4，0）两点，且交y轴于点C，连接AC、BC．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据勾股定理及逆定理，可得答案．

解答 解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-b+c=0}\\{\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=0}\\{\;}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
AB=5，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，把点的坐标代入函数解析式得出方程组是解题关键．