Question

7．如图，已知在△ABD中，AC⊥BD，BE⊥AD，AC=BC．
（1）求证：△BCF≌△ACD；
（2）若BE平分∠ABD，DE=6．
①求证：BA=BD；
②求△ABF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两角以及夹边对应相等的两个三角形全等即可判定．
（2）①欲证明BA=BD只要证明∠BAD=∠D即可．
②根据S_△ABF=$\frac{1}{2}$•BF•AE，求出BF、AE即可．

解答 （1）证明：∵AC⊥BD，BE⊥AD，
∴∠BCF=∠ACD=∠BED=90°，
∵∠CBF+∠D=90°，∠CAD+∠D=90°，
∴∠CBF=∠CAD，
在△BCF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAD}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACD．
（2）①证明：∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠AEB=∠DEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠DBE+∠D=90°，
∴∠BAD=∠D，
∴AB=BD，
②解：∵BA=BD，BE⊥AD，
∴AE=DE=6，AD=12，
∵△BCF≌△ACD，
∴BF=AD=12，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$•BF•AE=$\frac{1}{2}$×12×6=36．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等角的余角相等、三角形面积等知识，解题的关键是寻找全等三角形的条件，属于基础题，中考常考题型．