Question

8．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，且AB=2，则图中五边形CDEFG的周长为10$\sqrt{5}$-20．

Answer 1

分析 根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，BC=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$AB，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．

解答 解：∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC=BD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=$\sqrt{5}$-1，BC=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$AB=3-$\sqrt{5}$，
∴CD=BD-BC=（$\sqrt{5}$-1）-（3-$\sqrt{5}$）=2$\sqrt{5}$-4，
∴五边形CDEFG的周长=5（2$\sqrt{5}$-4）=10$\sqrt{5}$-20．
故答案为10$\sqrt{5}$-20．

点评 本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．