Question

19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A，∠B、∠C的对边，若关于x的方程c（x²+1）-2$\sqrt{2}$bx-a（x²-1）=0的两根平方和为10，求$\frac{b}{a}$的值．

Answer 1

分析 将原方程整理为一元二次方程的一般形式，设方程两根为x₁，x₂，再根据两根平方和为10，列出等式并变形，将两根关系整体代入即可．

解答 解：原方程整理为（c-a）x²-2$\sqrt{2}$bx+（c+a）=0，
设x₁，x₂是方程的两个根，则x₁²+x₂²=10，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
把方程根公式代入，得（$\frac{2\sqrt{2}b}{c-a}$）²-2×$\frac{c+a}{c-a}$=10，即4b²-（c²-a²）=5（c-a）²，
由勾股定理得：c²-a²=b²，代入以上方程整理后有
3b²=5（c-a）²．
∵c是斜边，
∴c＞a，两边开平方，得$\sqrt{3}$b+$\sqrt{5}$a=$\sqrt{5}$c，
两边同时平方得，
3b²+5a²+2$\sqrt{15}$ab=5c²，
再次将勾股定理代入得，
3b²+5a²+2$\sqrt{15}$ab=5a²+5b²，
2b²=2$\sqrt{15}$ab，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了三角形的边角关系，根与系数关系，勾股定理的运用．关键是根据题意得出x₁²+x₂²=10，将等式变形，将根与系数关系代入，结合勾股定理求解．