Question

14．如图，正方形ABCD中，E为边CD上的一点，且CE=3DE，连接BE，将△CBE沿BE翻折，使点C落在C′处，延长BC′交AD于点F，连接EF，若AF=7，则线段EF的长为5$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 设DE=x，根据已知条件得到CE=3x=C′E，则AB=BC=CD=AD=4x，DF=4x-7，BC′=4x，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：设DE=x，则CE=3x=C′E，则AB=BC=CD=AD=4x，DF=4x-7，BC′=4x，
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{16{x}^{2}+49}$，
∴C′F=BF-BC′=$\sqrt{16{x}^{2}+49}$-4x，
在Rt△FC′E中，EF²═FC′²+EC′²=$\sqrt{16{x}^{2}+49}$-4x）²+9x²，
在Rt△DFE中，EF²=DF²+DE²=（4x-7）²+x²，
∴（$\sqrt{16{x}^{2}+49}$-4x）²+9x²═（4x-7）²+x²，
16x²+49-8x$\sqrt{16{x}^{2}+49}$+16x²+9x²=16x²-56x+49+x²，
∴56x+24x²=8x$\sqrt{16{x}^{2}+49}$，
∵x≠0，
∴7x+3x²=x$\sqrt{16{x}^{2}+49}$，
∴7+3x=$\sqrt{16{x}^{2}+49}$，
∴（7+3x）²=16x²+49，
∴x=6，
∴EF=$\sqrt{（4x-7）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{1{7}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{325}$=5$\sqrt{13}$．
故答案为：5$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了折叠的性质，解直角三角形，熟练正确解直角三角形的方法是解题的关键．