Question

5．已知?ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．
（1）若PE=$\sqrt{3}$，EO=1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，判断线段BF与BC的长短，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图（1），连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；
（2）如图（2），根据三角形中位线定理可得PF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，然后证明四边形PEOF是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．

解答 解：（1）如图（1），连接PO，
∵PE⊥AC，PE=$\sqrt{3}$，EO=1，
∴tan∠EPO=$\frac{EO}{PE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EPO=30°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在Rt△PEO和Rt△PFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PO=PO}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），
∴∠FPO=∠EPO=30°，
∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；

（2）如图（2），
∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，
∴PF为△AOD中位线，
∴PF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AO，
∵PF⊥BD，
∴∠PFD=90°，
∴∠AOD=∠PFD=90°，
又∵PE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE=PF，
∴矩形PEOF是正方形，且PE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$OF，
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OA，
设OE=OF=a，则BF=3a，
BC=$\sqrt{2}$BO=2$\sqrt{2}$a，
∴BF＞BC．

点评 本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出四边形PEOF是正方形是解题的关键．