Question

10．已知抛物线y=-x²+2（m+1）x+m+3与x轴交于两点A、B（点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上）．与y轴交于点C．
（1）求m的取值范围；
（2）如果|OA|：|OB|=3：1，在该抛物线对称轴右边图象上求一点P的坐标，使得∠PCO=∠BCO．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质可判断点C在y轴的正半轴，则m+3＞0，然后解不等式即可；
（2）设A（α，0），B（β，0），（α＞0，β＜0），则OA=α，OB=-β，根据根与系数的关系得到α+β=2（m+1），αβ=-（m+3），再由|OA|：|OB|=3：1得到α：（-β）=3，即α=-3β，接着消去α、β得到m的方程3（m+1）•[-（m+1）]=-（m+3），解得m₁=0，m₂=-3（舍去）易得A（3，0），B（-1，0），抛物线解析式为y=-x²+2x+3，如图，则可求出C（0，3），设直线PC交x轴于D，利用∠PCO=∠BCO，CO⊥BD可得到D（1，0），利用待定系数法求出直线PC的解析式为y=-3x+3，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$可得P点坐标．

解答 解：（1）∵a=-1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y=-x²+2（m+1）x+m+3与x轴交于两点A、B（点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上），
∴点C在y轴的正半轴，
∴m+3＞0，
∴m＞-3；
（2）设A（α，0），B（β，0），（α＞0，β＜0），则OA=α，OB=-β，
∵α、β为方程-x²+2（m+1）x+m+3=0的两根，
∴α+β=2（m+1），αβ=-（m+3），
∵|OA|：|OB|=3：1，
∴α：（-β）=3，即α=-3β，
∴-3β+β=2（m+1），解得β=-（m+1），
∴α=3（m+1），
∴3（m+1）•[-（m+1）]=-（m+3），解得m₁=0，m₂=-3（舍去），
∴α=3，β=-1，
∴A（3，0），B（-1，0），
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3，如图，
当x=0时，y=3，则C（0，3），
设直线PC交x轴于D，
∵∠PCO=∠BCO，CO⊥BD，
∴OB=OD=1，
∴D（1，0），
设直线PC的解析式为y=kx+b，
把C（0，3），D（1，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线PC的解析式为y=-3x+3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-12}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（5，-12）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象、一次函数图象与抛物线的交点坐标．