Question

18．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．
（1）过点O作0E⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G点，则△ABC与△FGC是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出位似比；若不是，请说明理由．
（2）连接DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，试确定$\frac{CI}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理证明△ABC∽△FGC，根据位似变换的概念和位似中心的概念解答即可，根据相似三角形的性质求出两个三角形的相似比，得到位似比；
（2）根据相似三角形的性质进行计算即可．

解答 解：（1）∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△ABC∽△FGC，
△ABC与△FGC对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或重合，
∴△ABC与△FGC是位似图形，位似中心是点C，
∵BO=OD，OE∥CD，
∴$\frac{DC}{OE}$=$\frac{BD}{OB}$=2
∴$\frac{CF}{FO}$=$\frac{DC}{OE}$=2，
∴$\frac{CG}{CE}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{CG}{CB}$=$\frac{1}{3}$，
则△ABC与△FGC的位似比为3；
（2）由（1）得，$\frac{EG}{EC}$=$\frac{1}{3}$，FG∥CD，
∴$\frac{FG}{CD}$=$\frac{EG}{EC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CI}{CG}$=$\frac{CH}{CF}$=$\frac{3}{4}$，又$\frac{CG}{CE}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{CI}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CI}{BC}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查的是位似变换的概念、位似比的计算，相似三角形的判定和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．