题目内容

1．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④S四边形AEPF=$\frac{1}{2}$S△ABC，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确有 （　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个

分析 根据图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理，得出△APF≌△BPE，再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=PB，∠B=∠CAP=45°，
∵∠APF+∠FPA=90°，∠APF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠APF，
在△BPE和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CAP}\\{BP=AP}\\{∠BPE=∠APF}\end{array}\right.$，
∴△PFA≌△PEB（ASA），即结论①正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$BC，
又∵EF不一定是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故结论②错误；
∵△PFA≌△PEB，
∴PE=PF，
又∵∠EPF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，故结论③正确；
∵△PFA≌△PEB，
∴S△PFA=S△PEB，
∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=$\frac{1}{2}$S△ABC，故结论④正确；
综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论．
故选（C）

点评 本题以旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定及性质，三角形的中位线定理等，综合性较强．根据题意得出△APF≌△BPE是解答此题的关键环节．

练习册系列答案
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