Question

9．如图，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，AD=4，$DE=\sqrt{2}$，当正方形GFED绕D旋转到如图的位置，点F在边AD上，延长CE交AG于H，交AD于M．则CM的长为$\frac{4}{3}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 先过点E作EQ⊥CD于Q，构造等腰直角三角形DEG，并求得其直角边长，再根据EQ∥MD，运用平行线分线段成比例定理，求得MD的长，最后在直角三角形CDM中根据勾股定理求得斜边CM的长．

解答 解：过点E作EQ⊥CD于Q，则∠EQD=90°，
∵正方形DEFG中∠EDF=45°，正方形ABCD中∠ADC=90°，
∴∠EDQ=90°-45°=45°，
∴△DEQ是等腰直角三角形，
∵DE=$\sqrt{2}$，
∴EQ=DQ=1，
又∵AD=4=CD，
∴CQ=4-1=3，
∵EQ∥MD，
∴$\frac{DM}{QE}$=$\frac{DC}{QC}$，即$\frac{DM}{1}$=$\frac{4}{3}$，
∴DM=$\frac{4}{3}$，
∴直角三角形CDM中，CM=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}\sqrt{10}$．
故答案为：$\frac{4}{3}\sqrt{10}$

点评 本题以图形旋转为背景，考查了正方形的性质以及勾股定理，解决问题的关键是作辅助线，运用平行线分线段成比例定理进行求解．