题目内容
3．如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，（1）⊙O的弦AE交于BC于D．求证：AB•AC=AD•AE；
（2）在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明．若不成立，请说明理由．
（3）已知⊙O 的半径2，∠ACB=40°，求BA的长．（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1）
分析 （1）如图1中，连接CE，只要证明△AEC∽△ACD，即可解决问题；
（2）如图2中，连接BE，只要证明△AEB∽△ABD，即可解决问题；
（3）如图3中，过A作⊙O的直径AM，连接BM．在Rt△ABM中，解直角三角形即可；
解答 （1）证明：如图1中，连接CE，
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠AEC=∠ACD，
又∵∠EAC=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，即AC2=AD•AE；
又∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AE．
（2）答：上述结论仍成立．
证明：如图2中，连接BE，
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠AEB=∠ABD，
又∵∠EAB=∠DAB
∴△AEB∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$，即AB2=AD•AE，
又∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AE．
（3）解：如图3中，过A作⊙O的直径AM，连接BM．
∴∠ABM=90°，
∵∠AMB=∠ACB=40°，
在Rt△ABD中，AM=4，
∵sin∠AMB=$\frac{AB}{AM}$，
∴AB=4sin40°=4×0.64≈2.6．
点评 本题考查圆综合题、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
练习册系列答案
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18．
如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，斜坡AB的坡度i=1：2，仰角∠CBE=50°，则山峰的高度CF约为（ ）米，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2，$\sqrt{5}$≈2.24）
如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，斜坡AB的坡度i=1：2，仰角∠CBE=50°，则山峰的高度CF约为（ ）米，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2，$\sqrt{5}$≈2.24）| A． | 500 | B． | 516 | C． | 530 | D． | 580 |
8．若点A（2，3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，则该图象一定经过点（ ）
| A． | （-2，3） | B． | （1，-6） | C． | （-3，-2） | D． | （3，3） |
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