Question

如图，直线y=

4

3

x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，伴随着P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）
（1）当t=2时，AP=

 

，QF=

 

；
（2）证明：△QFP∽△POE；
（3）请表示出Q，E的坐标，并写出过程；
（4）在运动过程中，是否存在t使得以点B，Q，E为顶点的三角形与△ABO相似？若存在请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）由y=

4

3

x+4可求得AO=3，BO=4，所以当t=2时，可求出AP=AO-PO=3-2=1，而AQ=4，由条件可知QF∥BO，所以可知

AQ

AB

=

QF

OB

，代入可求得QF；
（2）由QP⊥PE，PF⊥AO，可得∠QPF=∠PEO，结合直角可证明相似；
（3）由sin∠BAO=

BO

AB

=

QF

AQ

=

4

5

，且AQ=2t，代入可表示出QF，进一步可求得AF，则可表示出Q点的坐标，再利用（2）中的相似可得

QF

PO

=

PF

EO

，代入可表示出E点的坐标；
（4）因为△ABO为直角三角形，所以BQE也为直角三角形，有两种情况即Q为直角顶点和E为直角顶点，利用对应边的比相等代入求t即可．

解答：（1）解：由y=

4

3

x+4可求得AO=3，BO=4，由勾股定理可得AB=5，
当t=2时，则有AP=AO-PO=3-2=1，而AQ=4，
由条件可知QF∥BO，
所以

AQ

AB

=

QF

OB

，
所以

4

5

=

QF

4

，
解得QF=

16

5

，
故答案为：1；

16

5

；

（2）证明：
∵QP⊥PE，PF⊥AO，
∴∠PFP=∠POE，
且∠FPQ+∠EPO=∠PEO+∠EPO=90°，
∴∠QPF=∠PEO，
∴△QFP∽△POE；

（3）解：
在Rt△ABO和Rt△AQF中，sin∠BAO=

BO

AB

=

QF

AQ

=

4

5

，且AQ=2t，
∴

QF

2t

=

4

5

，
∴QF=

8t

5

，
∵

QF

AF

=

BO

AO

=tan∠BAO，
∴

8t 5

AF

=

4

3

，
∴AF=

6t

5

，且AO=3，
∴OF=AO-AF=3-

6t

5

，
∴Q点的坐标为（

6t

5

-3，

8t

5

），
由△QFP∽△POE可得

QF

PO

=

PF

OE

，
∵PO=t，∴PF=OF-PO=3-

6t

5

-t=3-

11t

5

，
∴

8t 5

t

=

3- 11t 5

OE

，
∴OE=

15-11t

8

，
∴E点坐标为（0，

15-11t

8

）；

（4）解：
假设存在满足条件的t，分两种情况：
①当Q为直角顶点时，则有

BQ

BO

=

BE

BA

，
由（3）可知BE=4-OE=4-

15-11t

8

=

17-11t

8

，BQ=AB-AQ=5-2t，
代入可得：

5-2t

4

=

17-11t 8

5

，
可解得t=

11

3

，
而由题意，当Q到达B点时的时间为t=

5

2

=2.5，即0≤t≤2.5，而

11

3

＞2.5，故该种情况符合条件的t不存在；
②当E为直角顶点时，则有

BQ

BA

=

BE

BO

，同样代入可得：

5-2t

5

=

17-11t 8

4

，解得t=

25

3

＞2.5，故也不符合条件；
综上可知不存在使以点B，Q，E为顶点的三角形与△ABO相似的t的值．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，注意用t表示出线段长度则可化动为静，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决．