将一块足够大的三角形板.其直角顶点放在点A(3.2).两直角边分别交x轴.y轴于点B.C．设B(t.0)．(1)如图1.当t=3时.求线段BC的长,(2)如图2.点B.C分别在x轴.y轴的正半轴上.设△BOC的面积为S.试求S关于t的函数关系式.并求出S的最大值,(3)取BC的中点D.过点D作y轴的垂线与直线AC交于点E.△CDE能否成为等腰三角形?若能.请求出点B的坐标,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

将一块足够大的三角形板，其直角顶点放在点A（3，2），两直角边分别交x轴、y轴于点B，C．设B（t，0）．

（1）如图1，当t=3时，求线段BC的长；
（2）如图2，点B，C分别在x轴，y轴的正半轴上，设△BOC的面积为S，试求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）取BC的中点D，过点D作y轴的垂线与直线AC交于点E，△CDE能否成为等腰三角形？若能，请求出点B的坐标；若不能，请说明理由．

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）利用两点间的距离公式求得BC的长度即可；
（2）如图2，过A作AH⊥x轴与H，AP⊥y轴于P，构建相似三角形：△ABH∽△ACP，利用相似三角形的对应边成比例求得CP的长度，则OC=OP+CP；然后由三角形的面积公式进行解答即可；
（3）需要分类讨论：①当0＜t＜3时，当点E与点A重合时，△CDE为等腰三角形，即直线DE经过点A；
②当3＜t＜

13

3

时，设CD=CE，过A作AM⊥y轴，构建相似三角形：△AMC∽△DHC，利用相似三角形的性质来求t的值；
③当t＞

13

3

时，∠CED为钝角，设CE=DE．易证△OCF≌△ABF，则该全等三角形的对应边相等，则利用勾股定理列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
④如图5，当t＜0时，利用等腰三角形的性质进行解答．

解答：

（1）∵点A（3，2），
∴AC=3，AB=2，
∴BC=

AB2+AC2

=

22+32

=

13

；
∴线段BC的长是

13

；

（2）如图2，过A作AH⊥x轴与H，AP⊥y轴于P，易证△ABH∽△ACP，
∴

AH

BH

=

AP

CP

即

2

3-t

=

3

CP

或　

2

t-3

=

3

CP

，
∴CP=

9-3t

2

或 CP=

3t-9

2

∴OC=

13-3t

2

∴S=

1

2

•t•

13-3t

2

=-

3

4

t²+

13

4

t
当t=

13

6

时，S_最大=

169

48

（3）①当0＜t＜3时，
当点E与点A重合时，△CDE为等腰三角形，即直线DE经过点A．
∴

13-3t

4

=2，

∴t=

5

3

，
∴B（

5

3

，0）；
②如图3，当3＜t＜

13

3

时，设CD=CE，过A作AM⊥y轴，
易证△AMC∽△DHC，
∴

HD

HC

=

AM

MC

，
∴

t

2

13-3t

4

=

3

2-

13-3t

2

∴t=±

13

，
∴B（

13

，0）；

③如图4，当t＞

13

3

时，∠CED为钝角，设CE=DE．
∴CF=BF，
易证△OCF≌△ABF，
∴OC=AB．
∴（

13-3t

2

）²=（t-3）²+2²
解得t₁=3 （舍去），t₂=7.8，
∴B （7.8，0）
④如图5，当t＜0时，可求得OF=

3t-13

t-3

，
当CD=CE时，
∴CB=CF，

∴OB=OF
∴

3t-13

t-3

=-t，
解得t=±

13

，
∴B （-

13

，0），
又由①可知，当B（

5

3

，0）时，AF=AC．当点B向左运动时，AC逐渐增大同时AF逐渐减小，
∴当t＜0时不存在BC=BF的情形，即不存在CD=DE的情形；
若CE=DE，则CF=BF，
易证△COF≌△BAF，
∴AB=OC，
∴（

13-3t

2

）²=（t-3）²+2²，
解得t₁=3 （舍去），t₂=7.8 （舍去）．
综上所述，存在点B使△DCE为等腰三角形，此时B点坐标为：B₁（

5

3

，0）；B₂（

13

，0）；B₃ （7.8，0）； B₄（-

13

，0）．

点评：此题考查了相似形的综合题．涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，是一道探究型题．

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；
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