题目内容
如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了t秒．（1）当t=2秒时，则点N的坐标
（2）当△APM的面积为
| 10 |
| 3 |
（3）是否存在t的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）由A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）可以求出OA=6，AB=8，BC=6，由矩形的性质来求点N的坐标；
（2）根据三角形的面积公式可以得出S△MPA=
AM•EP建立方程求出其解即可；
（3）先假设以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似，再根据相似三角形的性质进行计算，若能求出t，则存在；否则不存在．
（2）根据三角形的面积公式可以得出S△MPA=
| 1 |
| 2 |
（3）先假设以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似，再根据相似三角形的性质进行计算，若能求出t，则存在；否则不存在．
解答：
解：（1）如图，∵平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8），
∴OC=AB=8，OA=BC=6，BC∥AO．
又点N的运动速度是每秒1个单位，
∴当t=2时，CN=6-2=4，
则N（4，8）．
故答案是：（4，8）．
（2）如图，延长NP交OA于点E，
∵NP⊥BC，
∴NP⊥OA．
∵tan∠OAC=tan∠EAP，
∴
=
，即
=
，
∴PE=
AE．
∵AM=6-t，PE=
AE=
AN=
t，
∴
（6-t）•
t=
，
∴t1=1；t2=5，
综上所述，当△APM的面积为
时，t的值是1秒或5秒；
（3）存在．理由如下：
在△ACB中，PN∥AB，
则
=
，
即
=
，
解得AP=
t，
又∵AM=6-t，
则有：①△AMP∽△AOC时，
=
，即
=
，解得t=3秒；
②△APM∽△AOC时，
=
，即
=
，解得t=
秒，
综上所述，当t=3秒或t=
秒时，以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似．
解：（1）如图，∵平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8），∴OC=AB=8，OA=BC=6，BC∥AO．
又点N的运动速度是每秒1个单位，
∴当t=2时，CN=6-2=4，
则N（4，8）．
故答案是：（4，8）．
（2）如图，延长NP交OA于点E，
∵NP⊥BC，
∴NP⊥OA．
∵tan∠OAC=tan∠EAP，
∴
| OC |
| OA |
| PE |
| AE |
| 8 |
| 6 |
| PE |
| AE |
∴PE=
| 4 |
| 3 |
∵AM=6-t，PE=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
∴t1=1；t2=5，
综上所述，当△APM的面积为
| 10 |
| 3 |
（3）存在．理由如下：
在△ACB中，PN∥AB，
则
| BN |
| BC |
| AP |
| AC |
即
| t |
| 6 |
| AP |
| 10 |
解得AP=
| 5 |
| 3 |
又∵AM=6-t，
则有：①△AMP∽△AOC时，
| AM |
| AO |
| AP |
| AC |
| 6-t |
| 6 |
| ||
| 10 |
②△APM∽△AOC时，
| AP |
| AO |
| AM |
| AC |
| ||
| 6 |
| 6-t |
| 10 |
| 27 |
| 17 |
综上所述，当t=3秒或t=
| 27 |
| 17 |
点评：本题考查了动点问题与相似三角形的性质，根据题意，逐步解答，充分利用前一问题的结论是解题的关键，同时要注意分类讨论．
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