Question

已知（a-1）x²-（a²+1）x+a²+a=0的根是正整数，求a的整数值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,一元一次方程的解

专题：计算题

分析：分类讨论：当a-1=0，解a=1，原方程变形一元一次方程，解得x=1；当a-1≠0，利用因式分解法解方程得到x₁=

a+1

a-1

，x₂=a，由于x₁=

a+1

a-1

=

a-1+2

a-1

=1+

2

a-1

，根据整数的整除性易得a=-1，0，2，3，然后综合两种情况即可．

解答：解：当a-1=0，解a=1，原方程变形为-2x+2=0，解得x=1；
当a-1≠0，即a≠1时，[（a-1）x-（a+1）]（x-a）=0，解得x₁=

a+1

a-1

，x₂=a，
因为x₁=

a+1

a-1

=

a-1+2

a-1

=1+

2

a-1

，
而a为整数，x₁也为整数，
所以a-1=±1，±2，
所以a=-1，0，2，3，
综上所述，整数a的值为-1，0，1，2，3．

点评：本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了解一元二次方程．