Question

5．如图：M、N分别为直角坐标系x、y正半轴上两点，过M、N和原点O三点的圆和直线y=x交于点P，
（1）试判断△PMN的形状；
（2）连接MN，设直线y=x交MN于点G，若PG：PN=3：4，△PGN的周长为6，求△PON的周长．

Answer 1

分析 （1）首先证明出PM=PN，再证明出∠NPM=90°即可；
（2）首先证明出∠PMN=∠PNM和∠OPN=∠OPN，利用相似三角形的性质即可得到答案．

解答 （1）解：△PMN是等腰直角三角形，
理由：∵y=x，
∴∠PON=∠POM=45°．
∴PN=PM．
∵四边形ONPM内接于圆，
∴∠MON+∠NPM=180°．
∵∠MON=90°，
∴∠NPM=90°．
即△PMN是等腰直角三角形．

（2）∵△PMN是等腰直角三角形，
∴∠PMN=∠PNM
∵∠OPN=∠OPN，
∴△PNG∽△PON．
∴△PNG的周长：△PON的周长=PG：PN=3：4．
∴△PNG的周长=6，
∴△PON的周长=8．

点评 本题主要考查了圆的综合题，涉及到等腰三角形的判定与性质、园内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明（1）的关键是得到∠NPM=90°，证明（2）的关键是得出△PNG∽△PON．