Question

9．已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）如图1，求证：△BED是等腰三角形；
（2）当时，如图2，在线段BC上取一点F，使四边形BFDE是菱形，连接EF，在不添加任何辅助线的情况下，请写出与△BEF面积一定相等的所有三角形（不包括△BEF本身）．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC，再由平行线的性质得出∠DBC=∠BDE，证出∠ABD=∠BDE，根据等角对等边即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出OB=OD=OE=OF，EF⊥BD，得出△OBE的面积=△OBF的面积=△ODF的面积=△ODE的面积，得出△BEF的面积=△BED的面积=△BFD的面积=△EFD的面积．

解答 （1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠DBC=∠BDE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE
即△BED是等腰三角形；
（2）解：与△BEF面积相等的所有三角形分别是△BED、△BFD、△EFD；理由如下：如图所示：
∵四边形BFDE是菱形，
∴OB=OD=OE=OF，EF⊥BD，
∴△OBE的面积=△OBF的面积=△ODF的面积=△ODE的面积，
∴△BEF的面积=△BED的面积=△BFD的面积=△EFD的面积．

点评 本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．