问题提出:数学活动课上.老师出示了一个问题:如图1.将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起.其中∠ACB=∠E=90°.BC=DE=6.AC=FE=8.顶点D与边AB的中点重合.DE经过点C.DF交AC于点G．求重叠部分的面积．(1)独立思考:请直接写出△DCG的面积是6．(2)合作交流:“追梦小组受此问题的启发.将� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．问题提出：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．
（1）独立思考：请直接写出△DCG的面积是6．
（2）合作交流：“追梦”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程．
（3）变式探究：如图3，“智慧”小组将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积．

分析（1）先求出∠B=∠DCB，再证明DG∥BC，然后证出DG⊥AC，G是AC的中点．即可求出$S△DCG=\frac{1}{2}•CG•DG=\frac{1}{2}$×4×3=6；
（2）如图2所示：先证明AG=GH，再求出AD=$\frac{1}{2}$AB=5．，然后证明△ADH∽△ACB，得出比例式$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$，即 $\frac{5}{8}$=$\frac{DH}{6}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，即可求出S_△DGH=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×DH×AD=$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{75}{16}$．
（3）如答图2所示，作辅助线，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质，列方程求解．

解答解：（1）△DCG的面积是6．
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=DB=DA．
∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB．
∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°．
∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，
∴G是AC的中点．
∴CG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，DG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴$S△DCG=\frac{1}{2}•CG•DG=\frac{1}{2}$×4×3=6．
（2）如答图1所示：
∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，∴AG=GD，（4分）
∴AG=GH，即点G为AH的中点．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵D是AB中点，∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5．
在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$，即 $\frac{5}{8}$=$\frac{DH}{6}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，
∴S_△DGH=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×DH×AD=$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{75}{16}$．
（3）如答图2，过点D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC，
又∵点D为AB中点，
∴DK=$\frac{1}{2}$BC=3．
∵DM=MN，∴∠MND=∠MDN，
由（2）可知∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴$\frac{KN}{BC}=\frac{DK}{AC}$，即$\frac{KN}{6}=\frac{3}{8}$，得KN=$\frac{9}{4}$，
设DM=MN=x，则MK=x-$\frac{9}{4}$，
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-K$\frac{9}{4}$）²+3²=x²，解得x=$\frac{25}{8}$，
∴S_△DMN=$\frac{1}{2}$•MN•DK=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{8}$×3=$\frac{75}{16}$．