Question

如图，C为以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD=3，AC=3

5

，求⊙O的半径长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ACO与∠CAO的关系，根据平行线的性质，可得∠DAC与∠ACO的关系，根据等量代换，可得答案；
（2）根据勾股定理，可得AD的长，根据等腰三角形的性质，可得AE与AC的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得答案．

解答：（1）证明：连结OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO （等腰三角形，两底角相等）
∵CD切⊙O于C，
∴CO⊥CD，
又∵AD⊥CD
∴AD∥CO
∴∠DAC=∠ACO （两直线平行，内错角相等）
∴∠DAC=∠CAO（等量代换）
∴AC平分∠BAD；
（2）过点E画OE⊥AC于E，
在Rt△ADC中，AD=

(3 5 )2-33

=6
∵OE⊥AC，∴AE=

1

2

AC=

3 5

2

∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=Rt∠
∴△AEO∽△ADC
∴

AE

AD

=

AO

AC

  即

3 5 2

6

=

AO

3 5

∴AO=

15

4

  
 即⊙O的半径为

15

4

．

点评：本题考查了切线的性质，（1）利用了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质；（2）利用了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质．