Question

1．如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A=60°，
（1）求∠BFC的度数．
（2）求证：BC=BE+CD．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和等于180°列式求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠FBC+∠FCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
（2）在BC上取一点O使得BO=BE，易证∠BFE=∠CFD=60°，即可证明△BFE≌△BFO，可得∠BFO=∠BFE=60°，即可证明△OCF≌△DCF，可得CO=CD，根据BC=BO+OC即可证明．

解答 解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
在△BCF中，∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-60°=120°．

（2）证明：在BC上取一点O，使得BO=BE，

∵∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BFC=120°，
∴∠BFE=∠CFD=60°，
在△BFE和△BFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{∠FBE=∠FBO}\\{BE=BO}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△BFO，（SAS）
∴∠BFO=∠BFE=60°，
∴∠CFO=∠BFC-∠BFO=60°，
在△OCF和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFO=∠CFD=60°}\\{CF=CF}\\{∠FCO=∠FCD}\end{array}\right.$，
∴△OCF≌△DCF（ASA），
∴CO=CD，
∵BC=BO+CO，
∴BC=BE+CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质性质、三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．