Question

12．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c经过点A（2，0），B（0，-1），C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出一次函数y=x+1的图象，并直接写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）令y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1=0，利用分解因式法解一元二次方程即可得出点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出一次函数y=x+1的图象，根据两函数图象的上下位置关系即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（2，0）、B（0，-1）、C（4，5）代入y=ax²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{c=-1}\\{16a+4b+c=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1．
（2）令y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2）=0，
解得：x₁=-1，x₂=2，
∴点D的坐标为（-1，0）．
（3）在同一坐标系中画出一次函数y=x+1的图象，如图所示．
观察函数图象可知：当-1＜x＜4时，一次函数图象在二次函数图象上方，
∴当-1＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值．

点评 本题考查了二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用分解因式法解一元二次方程求出点D的坐标；（3）根据两函数图象的上下位置关系解不等式．