Question

10．已知经过原点的抛物线y=-2x²+4x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S=$s=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m^2}+2（0＜m＜2）}\\{\frac{1}{2}{m^2}-2（m＞2）}\end{array}}\right.$．

Answer 1

分析 由原抛物线的解析式中y=0，即可求得A点的坐标，若求△CDP的面积需要知道两个条件：底边CD及CD边上的高PH（过P作PH⊥x轴于H）；因此本题要分两种情况讨论：①0＜m＜2时，P点在x轴上方；②m＞2时，P点位于x轴下方；可分别表示出两种情况的CH的长即P点横坐标，根据抛物线的解析式即可得到P点的纵坐标；以CD为底，P点纵坐标的绝对值为高即可得到关于S、m的函数关系式．

解答 解：令-2x²+4x=0，
得x₁=0，x₂=2
∴点A的坐标为（2，0），
如图1，当0＜m＜2时，作PH⊥x轴于H，
设P（x_P，y_P），
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=2-m，
∴CH=$\frac{AC}{2}$=$\frac{2-m}{2}$
∴x_P=OH=m+$\frac{2-m}{2}$=$\frac{m+2}{2}$
把x_P=$\frac{m+2}{2}$代入y=-2x²+4x，
得y_P=-$\frac{1}{2}$m²+2
∵CD=OA=2
∴S=$\frac{1}{2}$CD•HP=$\frac{1}{2}$•2•（-$\frac{1}{2}$m²+2）=-$\frac{1}{2}$m²+2
如图2，当m＞2时，作PH⊥x轴于H，
设P（x_P，y_P）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=m-2，
∴AH=$\frac{m-2}{2}$
∴x_P=OH=2+$\frac{m-2}{2}$=$\frac{m+2}{2}$
把x_P=$\frac{m+2}{2}$代入y=-2x²+4x，得
y_P=-$\frac{1}{2}$m²+2
∵CD=OA=2
∴S=$\frac{1}{2}$CD•HP=$\frac{1}{2}$m²-2．
综上可得：$s=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m^2}+2（0＜m＜2）}\\{\frac{1}{2}{m^2}-2（m＞2）}\end{array}}\right.$．

点评 此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、平移的性质以及三角形面积的求法等知识，需注意的是（3）题要根据m的取值范围分段讨论，以免造成漏解、错解．