题目内容
15．如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC的度数为α，点D是底边BC上一动点，将△ABD绕点A逆时针旋转α度得到△ACE，连接DE．（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如图2，当点D运动到BC中点时，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF，判断四边形CDFE的形状，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，△ABC满足条件∠BAC=90°时，四边形CDFE为正方形．
分析 （1）根据旋转的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，从而可得$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，∠BAC=∠DAE，即可得到△ABC∽△ADE；
（2）易证∠ACE=∠ABD=∠ACD=∠EFC，则有EF=EC，从而可得EF=EC=BD=DC，由此可证到四边形CDFE是菱形；
（3）要使菱形CDFE是正方形，只需∠DCE=90°，只需∠DCF=45°，只需∠BAC=90°．
解答 解：（1）由旋转的性质可得：△ABD≌△ACE，
则BD=CE，AB=AC，AD=AE，∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）四边形CDFE是菱形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB．
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACE，
∴EF=EC，
∴EF=CE=BD．
∵BD=DC，
∴EF=DC．
又∵EF∥DC，
∴四边形DCEF是平行四边形．
∵EF=EC，
∴?DCEF是菱形；
（3）当∠BAC=90°时，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ABC=45°，
∴∠DCE=90°，
∴菱形DCEF是正方形，
故答案为∠BAC=90°．
点评 本题主要考查了相似三角形的判定、菱形的判定、正方形的判定、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证到∠ACE=∠EFC进而得到EF=EC是解决第（2）小题的关键．
练习册系列答案
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