Question

2．在△ABC中，CD⊥AB于D，若AC≠BC，∠A=32°，且$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{BD}$，则∠ABC为58或122°．

Answer 1

分析 此题分两种情况，当∠ABC是锐角，当∠ABC是钝角，由勾股定理和已知条件证得△ADC∽△BDC，得到对应角相等，结论即可求出．

解答 解：如图1，∵CD⊥AB，
∴AC²=AD²+CD²，BC²=CD²+BD²，
∵$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{BD}$，
∴BD•（AD²+CD²）=AD•（CD²+BD²），
∴BD•AD（AD-BD）=CD²（AD-BD），
∴BD•AD=CD²，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{CD}{AD}$，
∵∠BDC=ADC，
∴△ADC∽△BDC，
∴∠B=∠ACD，
∵∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACD=58°，
如图2，同理可知△ADC∽△BDC，
∴∠DCB=∠A=32°，
∴∠DBC=58°，
∴∠ABC=122°，
综上所述：∠ABC=58°，或122°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．