Question

11．在矩形ABCD中，$\frac{AB}{AD}$=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．如图1，当DH=DA时，
（1）填空：∠HGA=45度；
（2）若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和已知条件得出∠HAE=45°，再根据HA=HG，得出∠HAE=∠HGA，从而得出答案；
（2）先分两种情况讨论：第一种情况，根据（1）得出∠AHG=90°，再根据折叠的性质得出∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，再根据EF∥HG，得出∠AHF=∠AHG-∠FHG，即可得出∠AHE=22.5°，此时，当B与G重合时，a的值最小，求出最小值；第二种情况：根据已知得出∠AEH+∠FEH=45°，由折叠的性质求出∠AHE的度数，此时，当B与E重合时，a的值最小，设DH=DA=x，则AH=GH=$\sqrt{2}$x，在Rt△AHG中，∠AHG=90°，根据勾股定理得：AG=$\sqrt{2}$AH=2x，再根据∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，求出∠AEH=∠GHE，得出AB=AE=2x+$\sqrt{2}$x，从而求出a的最小值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADH=90°，
∵DH=DA，
∴∠DAH=∠DHA=45°，
∴∠HAE=45°，
∵HA=HG，
∴∠HAE=∠HGA=45°；
故答案为：45．
（2）分两种情况讨论：
第一种情况：
∵∠HAG=∠HGA=45°；
∴∠AHG=90°，
由折叠可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，
∵EF∥HG，
∴∠FHG=∠F=45°，
∴∠AHF=∠AHG-∠FHG=45°，
即∠AHE+∠FHE=45°，
∴∠AHE=22.5°，
此时，当B与G重合时，a的值最小，H为DC中点，DA=DH=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB，
此时$\frac{AB}{AD}$=a=2，所以a的最小值是2；
第二种情况：
∵EF∥HG，
∴∠HGA=∠FEA=45°，
即∠AEH+∠FEH=45°，
由折叠可知：∠AEH=∠FEH，
∴∠AEH=∠FEH=22.5°，
∵EF∥HG，
∴∠GHE=∠FEH=22.5°，
∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，
此时，当B与E重合时，a的值最小，
设DH=DA=x，则AH=GH=$\sqrt{2}$x，
在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：
AG=$\sqrt{2}$AH=2x，
∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，
∴∠AEH=∠GHE，
∴GH=GE=$\sqrt{2}$x，
∴AB=AE=2x+$\sqrt{2}$x，
∴a的最小值是$\frac{2x+\sqrt{2}x}{x}$=2+$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了四边形的综合，用到的知识点是矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，能够全面的思考问题，分类讨论求出∠AHE的度数，并求此时a的最小值是本题的难点．