Question

3．已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p²，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）

Answer 1

分析 （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；
（2）要使方程有整数解，那么$\frac{5±\sqrt{9+4p}}{2}$为整数即可，于是p可取0，4，10时，方程有整数解．

解答 解：（1）原方程可化为x²-5x+4-p²=0，
∵△=（-5）²-4×（4-p²）=4p²+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
$\frac{5±\sqrt{9+4{p}^{2}}}{2}$，
（2）原方程可化为x²-5x+4-p²=0，
∵方程有整数解，
∴$\frac{5±\sqrt{9+4{p}^{2}}}{2}$为整数即可，
∴p可取0，2，-2时，方程有整数解．

点评 本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．