如图1.已知抛物线y=ax2-2ax+3.与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.若OB=3OA． (1)求抛物线的解析式, (2)连接BC.点P.点Q是第一象限的抛物线上不同的两点.是否存在这样的P点.使得S△BCP＞S△BCQ恒成立?若存在.请求P点的坐标,若不存在.请说明理由, (3)如图2.D为抛物线的顶点在x轴上的正投影.M为线段OC上一点.过点M作直线l交抛物线于E.F两点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图1，已知抛物线y=ax²-2ax+3（a≠0），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若OB=3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，点P、点Q是第一象限的抛物线上不同的两点，是否存在这样的P点，使得S_△BCP＞S_△BCQ恒成立？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，D为抛物线的顶点在x轴上的正投影，M为线段OC上一点，过点M作直线l交抛物线于E、F两点，连接AE、OE、BF、DF，若△AEO∽△DFB，求M点的坐标．

分析（1）设A（m，0），B（-3m，0），代入函数解析式后即可求得m的值，从而求得A、B两点的坐标，确定函数的解析式；
（2）设l解析式：y=-x+k，根据两函数有公共点得到-x+k=-x²+2x+3，得x²-3x+k-3=0，然后根据l与抛物线相切时，与抛物线只有一个交点，得到△=21-4k=0，求得k值后即可求得点P的坐标；
（3）可设M（0，m），过点M的直线y=kx+m，可得：kx+m=-x²+2x+3，然后用k表示出m=3k，得到△=k²-16k+16后即可得到3$\sqrt{{k}^{2}-16k+16}$=8-k，从而求得k值后即可得到点M的坐标．

解答解：（1）设A（m，0），B（-3m，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{m}^{2}-2am+3=0}\\{9a{m}^{2}+6am+3=0}\end{array}\right.$，
解得：m=-1，或m=0（舍去），
∴A（-1，0），B（3，0），
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；

（2）存在．如图，l为直线BC的平行线，
当l与抛物线相切时，S△BCP最大，又P、Q为抛物线上的两个不同点，
∴S_△BCP＞S_△BCQ恒成立，
设l解析式：y=-x+k，
∴-x+k=-x²+2x+3，得x²-3x+k-3=0，
l与抛物线相切时，与抛物线只有一个交点，
∴△=21-4k=0，
解得：k=$\frac{21}{4}$，此时，x=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）可设M（0，m），过点M的直线y=kx+m，
可得：kx+m=-x²+2x+3，
解得：x=$\frac{2-k±\sqrt{（k-2）^{2}-4（m-3）}}{2}$，
∴E（$\frac{2-k-\sqrt{△}}{2}$，$\frac{2k-{k}^{2}+k\sqrt{△}}{2}+m$），
F（$\frac{2-k+\sqrt{△}}{2}$，$\frac{2k-{k}^{2}+\sqrt{△}}{2}+m$），
∵△AEO∽△DFB，
∴$\frac{AP}{DQ}=\frac{EP}{FQ}=\frac{AO}{DO}=\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-k+\sqrt{△}}{2}+1=\frac{1}{2}（\frac{2-k+\sqrt{△}}{2}-1）}\\{\frac{2k-{k}^{2}-k\sqrt{△}}{2}+m=\frac{1}{2}（\frac{2k-{k}^{2}+k\sqrt{△}}{2}+m）}\end{array}\right.$
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{k+3\sqrt{△}=8}\\{{k}^{2}+3k\sqrt{△}-2k-2m=0}\end{array}\right.$，
解得：m=3k，
∴△=k²-16k+16，
∴3$\sqrt{{k}^{2}-16k+16}$=8-k，
解得：k=8±3$\sqrt{6}$，
∴m=24-9$\sqrt{6}$或m=24+9$\sqrt{6}$（舍去），
∴M（0，24-9$\sqrt{6}$）．

点评本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

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