Question

9．如图，菱形ABCD的边长为4，且∠ABC=60°，点E是CD的中点，点M为AC上一点，求MD+ME的最小值．

Answer 1

分析 根据菱形的性质得到点B与点D关于对角线AC对称，连接BE，BE与AC的交点为M，得到MD+ME的最小时点M的位置，求出BE的值即可得到答案．

解答 解：如图，∵在菱形ABCD中，点B与点D关于对角线AC对称，
∴连接BE，BE与AC的交点为M，连接DM，此时MD+ME有最小值．
∵∠ABC=60°，AB=4，
∴OA=OC=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{CM}{MA}$=$\frac{EM}{MB}$=$\frac{EC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OM=$\frac{2}{3}$，
∴BM=$\frac{4\sqrt{7}}{3}$，
∴BE=2$\sqrt{7}$，
则MD+ME=2$\sqrt{7}$，
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的是轴对称--最短路线问题和菱形的性质，正确确定MD+ME的最小时点M的位置是解题的关键．