Question

18．如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S_△AOP=4S_△BOC，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；
（2）设P点坐标为（x，-x²-2x+3），根据S_△AOP=4S_△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x²+2x-3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．

解答 解：（1）把A（-3，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-9-3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故该抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3．


（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=-x²-2x+3，则易得B（1，0）．
∵S_△AOP=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|-x²-2x+3|=4×$\frac{1}{2}$×1×3．
整理，得（x+1）²=0或x²+2x-7=0，
解得x=-1或x=-1±2$\sqrt{2}$．
则符合条件的点P的坐标为：（-1，4）或（-1+2$\sqrt{2}$，-4）或（-1-2$\sqrt{2}$，-4）；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（-3，0），C（0，3）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+t=0}\\{t=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{t=3}\end{array}\right.$．
即直线AC的解析式为y=x+3．
设Q点坐标为（x，x+3），（-3≤x≤0），则D点坐标为（x，-x²-2x+3），
QD=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，QD有最大值$\frac{9}{4}$．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．