Question

1．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠ABD=∠ACD．求证：AB=DC．

Answer 1

分析 延长AD，由平行线的性质得出∠EDC=∠DCB，证明A、B、C、D四点共圆，由圆周角定理得出∠EDC=∠ABC，∠BAC=∠CDB，证出∠ABC=∠DCB，由AAS证明△ABC≌△DCB，得出对应边相等即可．

解答 证明：延长AD，如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠EDC=∠ABC，∠BAC=∠CDB，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠CDB}&{\;}\\{∠ABC=∠DCB}&{\;}\\{BC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
∴AB=DC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、梯形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题有一定难度，需要通过证明四点共圆得出角相等才能证明三角形全等．