Question

13．AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，P是射线AD上一点，连接PC，过点P作PE⊥PC交射线BA于点E
（1）当点P在线段AD上时，如图①所示，求证：PC=PE；
（2）当点P在AD的延长线上时，如图②所示，四边形AEPC的面积是16，BE=4，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）在DC上截取DM=PD，连接PM，根据等腰直角三角形的性质得到AD=CD，∠ADC=90°，∠DPM=∠DMP=45°，AP=CM，求得∠PMC=135°，得到∠PAE=∠PMC=135°，证得∠APE=∠ACP，推出△PAE≌△CMP，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）连接CE，过E作EM⊥AD于M，设AC=AB=a，由BE=4，则AE=a-4，根据勾股定理得到CE²=AE²+AC²=2a²-8a+16，PC²+PE²=EC²，求得PC²=a²-4a+8，根据图形的面积列方程$\frac{1}{2}$（a-4）a+$\frac{1}{2}$（a²-4a+8）=16，求得a₁=6，a₂=-2（舍去），得到AE=AC=6，AE=2，AD=CD=3$\sqrt{2}$，根据余角的性质得到∠EPM+∠MPC=∠MPC+∠PCD=90°，∠EPM=∠PCD，证得△PEM≌△CPD，根据全等三角形的性质得到PM=DC=3$\sqrt{2}$，即可得到结论．

解答 解：（1）如图①，在DC上截取DM=PD，连接PM，
∵AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠DPM=∠DMP=45°，AP=CM，
∴∠PMC=135°，
∵∠EAC=90°，∠CAD=45°，
∴∠PAE=∠PMC=135°，
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC=∠DPC+∠PCM=90°，
∴∠APE=∠ACP，
在△PAE与△CMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠CMP}\\{PA=CM}\\{∠APE=∠MCP}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△CMP，
∴PE=PC；

（2）如图②，连接CE，过E作EM⊥AD于M，设AC=AB=a，
∵BE=4，则AE=a-4，
∴CE²=AE²+AC²=2a²-8a+16，
∵PC²+PE²=EC²，
∵PE=PC，
∴PC²=a²-4a+8，
∵S_{四边形AEPC}S_△AEC+S_△PEC=$\frac{1}{2}AE•AC+\frac{1}{2}P{C}^{2}$=16，
∴$\frac{1}{2}$（a-4）a+$\frac{1}{2}$（a²-4a+8）=16，
∴a²-4a-12=0，
∴a₁=6，a₂=-2（舍去），
∴AE=AC=6，AE=2，AD=CD=3$\sqrt{2}$，
∵AD⊥BC，PE⊥PC，
∴∠EPM+∠MPC=∠MPC+∠PCD=90°，
∴∠EPM=∠PCD，
在△PEM与△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠PDC}\\{∠EPD=∠PCD}\\{PE=PC}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△CPD，
∴PM=DC=3$\sqrt{2}$，
在Rt△AEM中，AM=cos45°•AE=$\sqrt{2}$，
∴AP=AM+PM=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．