Question

6．如图，已知点A、C、E在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，M、N分别为AD、BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质得到∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC，CD=CE，于是得到∠BCD=180°-∠BCA-∠DCE=60°，推出∠DCA=∠BCE，证得△ACD≌△BCE（SAS），根据全等三角形的性质得到∠ACD=∠BEC，AD=BE，由M，N分别为AD，BE的中点，得到DM=EN，推出△MDC≌△NEC（SAS），根据全等三角形的性质得到CM=CN∠DMC=∠NCE，求出∠MCN=60°，即可得到结论．

解答 证明：∵△ABC和△CDE为正三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC，CD=CE，
∴∠BCD=180°-∠BCA-∠DCE=60°，
∴∠BCD+∠DCE=∠BCD+∠BCA，
即∠DCA=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠DCA=∠BCE}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ACD=∠BEC，AD=BE，
∵M，N分别为AD，BE的中点，
∴DM=EN，
在△MDC和△NEC中 $\left\{\begin{array}{l}{DM=EN}\\{∠ACD=∠BEC}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△MDC≌△NEC（SAS），
∴CM=CN∠DMC=∠NCE，
∵∠NCE+∠DCN=60°，
∴∠MCD+∠DCN=60°，
即∠MCN=60°，
在△MNC中，MC=NC，MCN=60°，
∴△CMN为正三角形．

点评 本题查看了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的定义，三角形的内角和定理，准确的找出全等三角形是解题的关键．