Question

如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的边BC、B′C′上的高，且AD=A′D′，AB=A′B′，∠BAC=∠B′A′C′．
（1）求证：△ABD≌△A′B′D′；
（2）求证：AC=A′C′．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用HL可以证得：Rt△ABD≌Rt△A′B′D′；
（2）由ASA证得△ADC≌△A′D′C′，则由“全等三角形的对应边相等”推知AC=A′C′．

解答：（1）证明：∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的边BC、B′C′上的高，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中，

AD=A′D′ AB=A′B′

，
∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′（HL）；

（2）∵由（1）知，Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，
∴∠BAD=∠B′A′D′．
又∵∠BAC=∠B′A′C′，
∴∠BAC-∠BAD=∠B′A′C′-∠B′A′D′，即∠CAD=∠C′A′D′．
在△ADC与△A′D′C′中，

∠DAC=∠D′A′C′ AD=A′D′ ∠ADC=∠A′D′C′

，
∴△ADC≌△A′D′C′（ASA），
∴AC=A′C′．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．