Question

一块直角三角形木板的一条直角边长1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，问：怎样加工面积最大？

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的最值

专题：

分析：首先利用面积和一条直角边的长求得另一条直角边的长，然后分两个方案求解后得到面积最大的方案即可；
方案一：根据题意画出图形，作CM⊥AB于M，交DE于N．设正方形边长为xcm，再根据直角三角形的面积得出CM的长，利用相似三角形的判定定理即可得出△CDE∽△CAB，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出正方形的边长；
方案二：如图（2）设正方形边长为ycm，利用相似三角形的判定定理即可得出△BFE∽△BCA，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出正方形的边长；把两方案中正方形的边长进行比较即可得出结论．

解答：解：∵一条直角边长1.5米，面积为1.5平方米，
∴另一条直角边的长为2米，
方案一：如图（1），
作CM⊥AB于M，交DE于N．
设正方形边长为xcm．
由S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CM
知：CM=

AC•BC

AB

=

6

5

∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB，
即：

CN

CM

=

DE

AB

∴

6 5 -x

6 5

=

x

2.5

∴x=

30

37

方案二：如图（2）设正方形边长为ycm．
∵EF∥AC
∴△BFE∽△BCA，
∴

BF

BC

=

EF

AC

即　

1.5-y

1.5

=

y

2

∴y=

6

7

∵x＜y，
∴方案二裁出的正方形的面积最大．
这时正方形的边长是

6

7

cm．

点评：本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，能根据题意画出图形，作出辅助线，再根据相似三角形的判定定理及性质进行解答即可．