Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点，M为其顶点，P为拋物线第一象限内一点，若以PM为直径的⊙O′恰好过点A，求P点坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：由抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点，可得A，B的坐标，由M为抛物线y=x²-2x-3的顶点，可得M的坐标．设P（x，y），可求得MP的中点N的坐标，可求得PM及AN的长，由PM=2AN，列出方程，化简得2y-x=1，由P（x，y）在抛物线y=x²-2x-3上，列出方程解得x的值，把x=

7

2

代入求出y的值，即可得出点P的坐标．

解答：解：∵抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点，
∴令x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵M为抛物线y=x²-2x-3的顶点，
∴M（1，-4）．设P（x，y），
∴MP的中点N的坐标为（

x+1

2

，

y-4

2

），
∴PM=

(x-1)2+(y+4)2

，
AN=

( x+1 2 +1)2+( y-4 2 )2

，
∵PM=2AN，
∴

(x-1)2+(y+4)2

=2

( x+1 2 +1)2+( y-4 2 )2

，化简得，2y-x=1，
又∵P（x，y）在抛物线y=x²-2x-3上，
∴

1+x

2

=x²-2x-3，解得x₁=-1（舍去），x₂=

7

2

，
把x=

7

2

代入y=

49

4

-7-3=

9

4

．
∴P（

7

2

，

9

4

）．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是利用R=2r列出方程求解．