Question

二次函数y=ax²+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac-b²＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④n（an+b）+b＞a（n≠-1），
其中正确结论的个数是（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：计算题

分析：根据抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（-2，0）与（-3，0）之间，则x=-2时，y＞0，即4a-2b+c＞0，则可对②进行判断；由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1得到a=

b

2

，再利用x=1时，y＜0得到a+b+c＜0，则

b

2

+b+c＜0，于是可对③进行判断；根据二次函数的最值问题得到an²+bn+c＜a-b+c（n≠-1），即n（an+b）+b＜a，则可对④进行判断．

解答：解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，即4ac-b²＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（1，0）之间，
而抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（-2，0）与（-3，0）之间，
∴x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，即4a+c＞2b，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1，
∴a=

b

2

，
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴

b

2

+b+c＜0，即3b+2c＜0，所以③正确；
∵x=-1时，函数值有最大值a-b+c，
∴an²+bn+c＜a-b+c（n≠-1），
∴n（an+b）+b＜a，所以④错误．
故选C．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口，当a＜0时，抛物线向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．