Question

若P是y=x²上一点，且圆P的半径为1，当圆P与直线y=

3

x相切时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：过点P作直线AB∥直线y=

3

x，分别交x轴和y轴于A、B，作OC⊥AB于C，如图，利用直线的平移可设直线AB的解析式为y=

3

x+b，则A（-

3

3

b，0），B（0，b），在Rt△ABO中，利用正切的定义可计算出∠ABO=30°；由于圆P与直线y=

3

x相切，根据切线的性质和平行线间的距离的定义得到OC=1，则在Rt△BOC中可计算出OB=2OC=2，然后利用而次函数图象与一次函数图象的交点问题解方程组

y=x2 y= 3 x+2

即可得到P点坐标．

解答：解：过点P作直线AB∥直线y=

3

x，分别交x轴和y轴于A、B，作OC⊥AB于C，如图，
设直线AB的解析式为y=

3

x+b，则A（-

3

3

b，0），B（0，b），
在Rt△ABO中，∵tan∠ABO=

OA

OB

=

3

3

，
∴∠ABO=30°，
∵圆P与直线y=

3

x相切，
∴OC=1，
在Rt△BOC中，OB=2OC=2，
∴直线AB的解析式为y=

3

x+2，
解方程组

y=x2 y= 3 x+2

得

x= 3 - 11 2 y= 7- 33 2

或

x= 3 + 11 2 y= 7+ 33 2

，
∴点P的坐标为（

3 - 11

2

，

7- 33

2

）或（

3 + 11

2

，

7+ 33

2

）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质和一次函数图象与几何平移；会运用三角函数的定义求角的度数和计算线段的长；会求二次函数图象与一次函数图象的交点坐标；理解坐标与图形性质．